摘要

我们证明了具有相同扶正量纲的元素组成的某些矩阵簇的闭包的一些结果。推广了Dixmier的结果，并应用于简单代数群的拓扑生成。

1 介绍

设k为特征的代数闭域，并表示k上矩阵的代数。若，则令D(A)表示由与A具有相同约旦标准形式的所有元素组成的子集，直至改变特征值(但具有相同数量的不同特征值)。

请注意,D（一个)在co下关闭和中任意两个元素的结合D（一个)有……njugate本体。中任意两个元素的固定空间D（一个)dth Grassmanian, 我们也一样。共轭，特别是固定空间的维度是有限公司nstant上D（一个）.

我们推广了Dixmier[2]的一个结果(对于a型的情况)。设G是代数闭域上的一个简单代数群。如果存在一个抛物子群P，使得u在P的幂零根中，且u的幂零共轭是P的幂零根的开密子集，则一个幂零元称为Richardson元。在g的李代数中也同样定义了Richardson幂零元。Diximier证明(在特征0中)如果A是Richardson，则A是半简单元的极限，使得每个半简单元的中心化器的维数与A的中心化器的维数相同。Richardson[9]用它证明了特征0上的约化李代数的交换变维数是等于的不可约变维数(Motzkin和Taussky[8]在所有特征上都证明了这一点)。Levy[6]观察到Dixmier的结果也具有良好的特征，因此Richardson对各种可交换对的不可约性的证明也具有良好的特征。

我们推广了Dixmier的结果，得到了任意特征(使用Zariski拓扑)和任意元素的相同结论。我们还证明了一个三明治结果，即任何这样的元素都被困在具有相同中心化维数的半简单元素和等幂元素(即具有单个特征值)之间。我们还需要验证我们的半简单元素和幂零元素是否具有一些额外的属性(应用程序需要的)。我们将此与Guralnick和Lawther[5，命题3.2.1]的最新结果结合起来，得出所有Grassmanians上的所有不动点空间对于这些子变种中的元素都是相同的结论。

这将在[4]中用于推导与简单代数群拓扑生成有关的一些结果，并将[1]的结果从半简单和单幂类推广到所有类。

我们的主要结果如下:

定理1.1

让。则存在一个半单元和一个等幂元，满足下列条件:

1. （1）

   D(S)的Zariski闭包包含D(A)。

2. (2）

   D(A)的Zariski闭包包含D(N)。

3. （3）

   A, S和N都有相同维数的中心器。

4. （4）

   如果，那么一个，年代和N它们都有相同维数的不动点空间．

请注意，在我们的证明中，控制各元素的行列式或轨迹是没有问题的，因此，对于和的证明结果也是一样的。在最后一节中，我们对辛和正交情况作了一些评论。

我们还给出了一些关于在后续[4]中需要的简单代数群的生成的结果。(3)在[3]中对A为半简单(即具有相同扶正维数且具有相同维数的最大特征空间的幂零类的存在性)的特殊情况进行了观察，并用于证明关于一般稳定器的结果。我们在下一节给出证明，并在下一节给出一些应用。

2 证明

如果有m个不同的特征值，我们设为m个分区的集合，其中是与A的每个广义特征空间的约当块相关的分区。

对于m个分区的集合，它们的大小加起来等于n。注意，如果，那么a和B的中心化器是共轭的，特别是具有相同的维数。

我们所说的分区和是指通常的加法(只是将分区视为具有非递增项的行向量-添加0以使向量具有相同的长度)。给定一个划分，设为转置划分。

如果是n的一个划分，则设所有具有单个特征值的矩阵的集合，其约当块的大小由给出，设半简单矩阵的集合，其特征空间的维数由给出。

我们首先注意到以下基本结果。

引理2.1

设A是一个上三角矩阵，其对角线元素包含在该集合中，其多重性为。假设位置上的元素都是非零的。A的乔丹标准形式由每个人一个乔丹块组成，它有大小。

证明

注意，A是正则的(即它的中心化器有n维)。接着注意，A是循环的(即列向量生成代数k[A]的列向量模块)。因此，A的特征多项式和最小多项式都是，结果如下:

让上面的矩阵的所有元素都等于1，所有其他元素(除了对角线)都等于0。考虑所有这些矩阵的s维仿射空间(作为所有可能性的范围)。注意，所有这些矩阵(即with for)的变种中的泛型点都是正则的。如果全部满足，则矩阵是正则等幂矩阵。

如果，让的固定空间一个在的集合d-dimensio子空间部分W的)。

我们的第一个结果如下:

定理2.2

让我们如上所述。让。

1. （1）

   的闭包包含。

2. (2）

   的闭包包含。

3. （3）

   如果，那么分区在哪里。

4. （4）

   如果，那么是恒定的。

证明

我们证明(1)。首先假设。则由具有单个特征值的元素组成。然后。

让它成为分割的碎片。的元素具有不同的特征值，并且更一般地具有至少具有多重性的不同特征值。

对于任意，设B为对角块大小的矩阵第i对角块为。

注意，如果它们是不同的，那么B是半简单的并且在这是m维仿射空间中的一个一般点通过允许所有的可能性得到。闭包中的元素都是相等的，闭包中的as也是如此。

在一般情况下，我们只选择a如上所述对应于一个元素的第j个特征值对应于另一个仿射空间的Jordan块。结果是分别考虑每个块。

我们同样证明了(2)。让。首先考虑每个分区中只有一个部分的情况。通过取泛型元素和取闭包中具有单个特征值的元素，我们可以获得具有单个Jordan块(和任何特征值)的正则元素。一般来说，我们将A分解为与第j个块相对应的块，每个特征值对应于第j个块的大小，闭包包含具有单个特征值的元素，对应于Jordan块的分区。

中心点、半单元和幂零元的维数公式给出了中心点具有和中元素的维数。这个观察结果与(1)和(2)一起证明了(3)。

根据[5，命题3.2.1]，证明了单元和半单元在Grassmanian上的固定空间维数的相等性。然后由(1)和(2)得到(4)。

显然，用非此即彼取代后的结果(本质上是相同的证明)成立。

3.一个应用程序

现在我们将定理2.2应用于对Grassmanians的作用。回想一下，固定子空间W意味着。

让d（一个的最大特征空间的维数一个。观察，如果与，则由定理2.2适用于(或通过观察)。

我们现在推广了对于单元或半单元所陈述的结果[1，引理3.35]。

定理3.1

让。假设。那么，下列其中一种情况成立:

1. （1）

   每个都有一个二次最小多项式和;或

2. (2）

   ．

证明

给每一个加一个标量是没有害处的，所以我们可以假设它们都是可逆的。这在[1，引理3.35]中得到了证明，在这种情况下，每一个都是半单质或单性的。前面的结果表明，这意味着结果是任意的。

推论3.2

让H是具有密集轨道的闭不可约子群在。随它去吧。此外，假设或和中的任何一个都没有二次最小多项式。对于一般的，不固定一个点吗．

证明

它由先前定理3.1(2)成立的结果推导出来。让它成为H有限公司青年阶级。由有限公司nsidering H作用于，则由[1，引理3.14]可知，它的子集上有一个不动点是有限公司的一个封闭的子变种。

注意，这个结果对于作用于非退化2-空间的辛正交群H是成立的。

对于高维的格拉斯曼量，以及对给定维的各种完全奇异空间的作用，应该有一个类似但更复杂的结果。

我们注意到Dixmier的结果可以推广到特征不为2的辛李代数和正交李代数中的任意元素。事实上，任何不以0为特征值的元素都在具有相同中心化维数的半简单元素集合的Zariski闭包中。这些团体也有类似的声明。在良好的特征下，Diximier的结果对Richardson幂零元和单幂元仍然成立。在我们的应用中，我们不需要这个(即使是对于这种类型的群)，因为这些群在Grassmanian上有密集的开放轨道(实际上，它们在每个Grassmanian上只有有限多个轨道)，所以结果是充分的。

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